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त्रिकोणमितीय कार्य कैसे कार्य करते हैं?

तो हाईस्कूल गणित और शायद महाविद्यालय में, हमें सिखाया जाता है कि त्रिभुज कार्यों का इस्तेमाल कैसे किया जाता है, वे क्या करते हैं, और किस तरह की समस्याओं का समाधान करते हैं। लेकिन वे हमेशा मुझे एक ब्लैक बॉक्स के रूप में प्रस्तुत कर चुके हैं। अगर आपको साइन या किसी चीज़ के कोसाइन की ज़रूरत है, तो आप अपने कैलकुलेटर पर पाप या कॉस बटन दबाएंगे और आप सेट हो जाएंगे। जो ठीक है

मैं क्या सोच रहा हूं कि कैसे त्रिकोणमितीय कार्यों को आम तौर पर लागू किया जाता है

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सबसे पहले, आपको कुछ प्रकार की सीमा में कमी करना पड़ता है। त्रिग फ़ंक्शंस आवधिक हैं, इसलिए आपको एक मानक अंतराल तक तर्क को कम करना होगा। शुरुआत के लिए, आप कोणों को 0 और 360 डिग्री के बीच में कम कर सकते हैं। लेकिन कुछ पहचानों का उपयोग करके, आप महसूस करते हैं कि आप कम से कम प्राप्त कर सकते हैं यदि आप 0 और 45 डिग्री के बीच के कोणों के लिए साइन और कोज़िन की गणना करते हैं, तो आप सभी कोणों के लिए सभी त्रिकोणीय कार्यों की गणना करने के लिए अपना रास्ता बूटस्ट्रैप कर सकते हैं।

एक बार जब आप अपनी तर्क को कम कर देते हैं, तो सबसे चिप्स साइड और कोजिन की गणना करने के लिए एक कॉर्डिक एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं। आप लोग कह सकते हैं कि कंप्यूटर टेलर श्रृंखला का उपयोग करते हैं यह उचित लगता है, लेकिन यह सच नहीं है कुशल हार्डवेयर कार्यान्वयन के लिए कॉर्डिक एल्गोरिदम बहुत बेहतर अनुकूल हैं। ( सॉफ्टवेयर पुस्तकालय टेलर श्रृंखला का उपयोग कर सकते हैं, जो हार्डवेयर पर ट्रिग फ़ंक्शंस का समर्थन नहीं करता है।) काफी अच्छा उत्तर पाने के लिए कॉर्डिक एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए कुछ अतिरिक्त प्रोसेसिंग हो सकती है, लेकिन फिर सटीकता को सुधारने के लिए कुछ और करना

इसके बाद के संस्करण में कुछ शोधनियां हैं उदाहरण के लिए, बहुत छोटे कोण थीटा (रेडियन में), पाप (थीटा) = थीटा आपके पास सभी परिशुद्धता के लिए है, इसलिए यह केवल कुछ अन्य एल्गोरिदम का उपयोग करने के लिए थीटा को वापस करने के लिए अधिक कुशल है। इसलिए व्यवहार में बहुत सारे विशेष तर्क हैं जो कि सभी प्रदर्शन और सटीकता को संभवतः निचोड़ते हैं। छोटे बाजारों के साथ चिप्स उतना अनुकूलन प्रयास नहीं जा सकते हैं।

संपादित करें: जैक गैन्सल की एम्बेडेड सिस्टम, "फर्मवेयर हैंडबुक" पर अपनी पुस्तक में एक सभ्य चर्चा है

एफवाईआई: अगर आपके पास सटीकता और प्रदर्शन की कमी है, तो टेलर श्रृंखला का उपयोग संख्यात्मक उद्देश्यों के लिए अनुमानित कार्यों में नहीं किया जाना चाहिए। (उन्हें अपने कैलकुल्स पाठ्यक्रमों के लिए सहेजें।) वे एक बिंदु पर एक समारोह की विश्लेषणात्मकता का उपयोग करते हैं, जैसे तथ्य यह है कि उसके सभी डेरिवेटिव उस बिंदु पर मौजूद हैं। वे अनिवार्य रूप से ब्याज के अंतराल में एकजुट नहीं होते हैं। अक्सर वे मूल्यांकन के बिंदु के पास "सही" होने के लिए फ़ंक्शन सन्निकटन की सटीकता को बांटने के एक खराब काम करते हैं; त्रुटि आम तौर पर ऊपर की ओर बढ़ जाती है जब तक आप उससे दूर जाते हैं और यदि आपके पास किसी भी गैर-कॉन्टैक्ट डेरिवेटिव (जैसे वर्ग तरंगों, त्रिकोण तरंगों, और उनके एकीकृत) के साथ एक फ़ंक्शन है, तो टेलर श्रृंखला आपको गलत जवाब देगा।

सबसे अच्छा "आसान" समाधान, जब एक अंतराल x0 <x <x1 पर दिए गए फ़ंक्शन एफ (एक्स) अनुमानित अधिकतम डिग्री एन के एक बहुपद का उपयोग करते हुए, चेबिशेह सन्निकटन से होता है ; एक अच्छी चर्चा के लिए संख्यात्मक व्यंजनों देखें। ध्यान दें कि Wzramram लेख में Tj (x) और Tk (x) I को कॉस और व्युत्क्रम कोसाइन का इस्तेमाल करने के लिए लिंक किया गया है, ये बहुपद हैं और व्यवहार में आप गुणांक प्राप्त करने के लिए पुनरावृत्ति सूत्र का उपयोग करते हैं। फिर, संख्यात्मक व्यंजनों देखें।

संपादित करें: विकिपीडिया में एक अर्ध-सभ्य लेख सन्निकटन सिद्धांत पर है । वे उद्धरण वाले स्रोतों में से एक (हार्ट, "कंप्यूटर अनुमान") प्रिंट से बाहर है (और उपयोग की गई प्रतियां महंगी होती हैं) परन्तु इस तरह की सामग्री के बारे में बहुत सारी जानकारी में आती है (जैक गैन्सल इस न्यूजलेटर द एम्बेडेड सरस के 39 अंक में इस बात का उल्लेख करते हैं।)

संपादित करें 2: यहां कुछ ठोस त्रुटि मैट्रिक्स (देखें नीचे) टेलर बनाम चेबिशेहेव के लिए पाप (एक्स)। नोट करने के लिए कुछ महत्वपूर्ण बिंदु:

  1. कि किसी श्रेणी में टेलर श्रृंखला के सन्निकटन की अधिकतम त्रुटि, एक ही डिग्री के चेबेसशेव सन्निकटन की अधिकतम त्रुटि से बहुत अधिक है (उसी त्रुटि के बारे में, आप चेबिशेव के साथ एक कम शब्द के साथ भाग ले सकते हैं, जिसका अर्थ है तेज प्रदर्शन)
  2. रेंज में कमी एक बड़ी जीत है। इसका कारण यह है कि उच्च क्रम के बहुपदों का योगदान घटता है जब सन्निकटन का अंतराल छोटा होता है।
  3. यदि आप श्रेणी में कमी के साथ भाग नहीं ले सकते हैं, तो आपके गुणांकों को अधिक सटीकता के साथ संग्रहीत करने की आवश्यकता है।

मुझे गलत मत समझो: टेलर श्रृंखला, साइन / कोसाइन के लिए ठीक से काम करेगी (सीमा के लिए उचित परिशुद्धता के साथ -पीआई / 2 से + पीआई / 2; तकनीकी तौर पर, पर्याप्त शर्तों के साथ, आप सभी वास्तविक निविष्टियों के लिए किसी भी वांछित सटीकता तक पहुंच सकते हैं, लेकिन टेलर श्रृंखला का उपयोग करते हुए कॉस (100) की गणना करने का प्रयास करें और जब तक आप मनमाना-सटीक अंकगणित का उपयोग न करें तब तक आप ऐसा नहीं कर सकते)। अगर मैं एक गैर-वैज्ञानिक कैलकुलेटर के साथ एक रेगिस्तानी द्वीप पर फंस गया था, और मुझे साइन और कोसाइन की गणना करने की आवश्यकता थी, तो शायद मैं टेलर श्रृंखला का उपयोग करूँगा क्योंकि गुणांक याद रखना आसान है लेकिन असली दुनिया के अनुप्रयोगों को अपने खुद के पाप () या कॉस () कार्यों को लिखना पड़ता है, जो बहुत कम है कि आप वांछित सटीकता तक पहुंचने के लिए एक कुशल कार्यान्वयन का उपयोग करना चाहते हैं – टेलर श्रृंखला नहीं है

रेंज = -पीआई / 2 से + पी / 2, डिग्री 5 (3 शब्द)

  • टेलर: 4.5e-3, f (x) = xx 3/6 + x 5/120 के आसपास अधिकतम त्रुटि
  • चेबेसशेव: अधिकतम त्रुटि 7e-5, f (x) = 0.9996949x-0.1656700x 3 + 0.0075134x 5

रेंज = -पीआई / 2 से + पी / 2, डिग्री 7 (4 शब्द)

  • टेलर: 1.5 ए -4 के आसपास अधिकतम त्रुटि, एफ (x) = xx 3/6 + x 5 /120-x 7/5040
  • चेबेसशेव: अधिकतम त्रुटि 6e-7, f (x) = 0.99999660x-0.16664824x 3 + 0.00830629x 5 -0.00018363x 7

रेंज = -पीआई / 4 से + पी / 4, डिग्री 3 (2 शब्द)

  • टेलर: 2.5e-3, f (x) = xx 3/6 के आसपास अधिकतम त्रुटि
  • चेबेसशेव: 1.5 ए -4 के आसपास अधिकतम त्रुटि, एफ (एक्स) = 0.9 99 x-0.1603x 3

रेंज = -पीआई / 4 टू + पी / 4, डिग्री 5 (3 शब्द)

  • टेलर: 3.5 ए -5 के आसपास अधिकतम त्रुटि, एफ (x) = xx 3/6 + x 5
  • चेबेसशेव: अधिकतम त्रुटि 6e-7, f (x) = 0.999995x-0.1666016x 3 + 0.0081215x 5

रेंज = -पीआई / 4 टू + पी / 4, डिग्री 7 (4 शब्द)

  • टेलर: 3e-7, f (x) = xx 3/6 + x 5 /120-x 7/5040 के आसपास अधिकतम त्रुटि
  • Chebyshev: अधिकतम त्रुटि के आसपास 1.2e-9, f (x) = 0.999999986x-0.166666367x 3 + 0.008331584x 5 -0.0001 9 4621x 7

मेरा मानना ​​है कि वे टेलर सीरीज़ या कॉर्डिक का उपयोग करके गणना कर रहे हैं कुछ एप्लिकेशन, जो ट्राइग फ़ंक्शंस (गेम, ग्राफिक्स) का भारी उपयोग करते हैं, जब वे आरंभ करते हैं, तो त्रिकोण तालिकाओं का निर्माण करते हैं, ताकि वे उन पर पुन: संदर्भित करने के बजाय मूल्यों को देख सकें।

Trig फ़ंक्शंस पर विकिपीडिया लेख देखें । वास्तव में उन्हें कोड में लागू करने के बारे में जानने के लिए एक अच्छी जगह है संख्यात्मक व्यंजनों

मैं ज्यादा गणितज्ञ नहीं हूं, परन्तु मेरी समझ है कि जहां पाप, कॉस और तन "से आते हैं" यह है कि वे एक अर्थ में हैं, जब आप सही-कोण त्रिकोण के साथ काम कर रहे हैं। यदि आप अलग-अलग कोण-कोण त्रिभुजों के गुच्छा की लंबाई के माप लेते हैं और ग्राफ़ पर बिन्दुओं को साजिश करते हैं, तो आप उसमें से पाप, कॉस और तन प्राप्त कर सकते हैं। जैसा कि हार्पर शेल्बी बताते हैं, फ़ंक्शन केवल सही-कोण त्रिकोण के गुणों के रूप में परिभाषित किए जाते हैं।

समझने के द्वारा एक और अधिक परिष्कृत समझ प्राप्त होती है कि ये अनुपात सर्कल के ज्यामिति से कैसे संबंधित है, जो रेडियन और सभी भलाई के कारण होता है। यह विकिपीडिया प्रविष्टि में है।

अधिकांश कंप्यूटरों के लिए, पावर सीरीज़ प्रस्तुतीकरण को साइनों और कोजियों की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है और ये अन्य त्रिकोणीय कार्यों के लिए उपयोग किया जाता है। इन श्रृंखलाओं को लगभग 8 शब्दों तक विस्तृत करना मशीन एपिसिलोन (सबसे छोटी गैर शून्य फ्लोटिंग प्वाइंट नंबर जो आयोजित किया जा सकता है) के करीब सटीकता के लिए आवश्यक मानों की गणना करता है।

कॉर्डिक पद्धति तेज है क्योंकि इसे हार्डवेयर पर लागू किया जाता है, लेकिन इसका उपयोग मुख्यतः एम्बेडेड सिस्टम के लिए और मानक कंप्यूटर के लिए नहीं है

यदि आप पाप की अधिक शारीरिक व्याख्या के लिए पूछ रहे हैं, क्योंकि, और तन विचार करते हैं कि वे कैसे सही कोण त्रिकोण से संबंधित हैं कॉस (लैम्ब्डा) के वास्तविक संख्यात्मक मूल्य को लेम्बडा होने वाले कोणों में से एक के साथ एक सही-कोण त्रिभुज बनाकर पाया जा सकता है और हाइपोटिन्यूज की लंबाई से लैम्ब्डा के निकट त्रिभुज पक्ष की लंबाई को विभाजित कर सकता है। समान रूप से पाप के लिए काल्पनिक द्वारा विभाजित विपरीत पक्ष का उपयोग करें स्पर्शरेखा के लिए आसन्न ओर से विभाजित विपरीत पक्ष का उपयोग करें। यह याद करने के लिए क्लासिक मेमोनीक है SOHCAHTOA (स्पष्ट सॉकेटोआ)।